看穿機器學習（W-GAN模型）的黑箱

2017-03-01  by:CAE仿真在線  來源:互聯網

圖a. Principle of GAN.

這學期,老顧在講授一門研究生水平的數字幾何課程,目前講到了2016年和丘成桐先生、羅鋒教授共同完成的一個幾何定理【3】,這個工作給出了經典亞歷山大定理(Alexandrov Theorem)的構造性證明,也給出了最優傳輸理論(Optimal Mass Transportation)的一個幾何解釋。

這幾天,機器學習領域的Wasserstein GAN突然變得火熱,其中關鍵的概念可以完全用我們的理論來給出幾何解釋,這允許我們在一定程度上親眼“看穿”傳統機器學習中的“黑箱”。

下面是老顧下周一授課的講稿。

生成對抗網絡 GAN

訓練模型 生成對抗網絡GAN (Generative Adversarial Networks)是一個“自相矛盾”的系統,就是以己之矛克以己之盾,在矛盾中發展,使得矛更加鋒利,盾更加強韌。這里的矛被稱為是判別器(Descriminator),這里的盾被稱為是生成器(Generator)。

圖b. Generative Model.

生成器G一般是將一個隨機變量(例如高斯分布,或者均勻分布),通過參數化的概率生成模型(通常是用一個深度神經網來進行參數化),進行概率分布的逆變換采樣,從而得到一個生成的概率分布。判別器D也通常采用深度卷積神經網。

圖1. GAN的算法流程圖。

矛盾的交鋒過程如下:給定真實的數據,其內部的統計規律表示為概率分布

。為此,我們制作了一個隨機變量生成器G,G能夠產生隨機變量,其概率分布是 ,我們又制作了一個判別器D,給定一個樣本,D來復制判別這個樣本是來自真實數據還是來自偽造數據。Goodfellow給GAN中的判別器設計了如下的損失函數(lost function), 盡可能將真實樣本判為正例,生成樣本判為負例:

第一項不依賴于生成器G, 此式也可以定義GAN中的生成器的損失函數。

在訓練中,判別器D和生成器G交替學習,最終達到納什均衡(零和游戲),判別器無法區分真實樣本和生成樣本。

優點 GAN具有非常重要的優越性。當真實數據的概率分布不可計算的時候,傳統依賴于數據內在解釋的生成模型無法直接應用。但是GAN依然可以使用,這是因為GAN引入了內部對抗的訓練機制,能夠逼近一下難以計算的概率分布。更為重要的,Yann LeCun一直積極倡導GAN,因為GAN為無監督學習提供了一個強有力的算法框架,而無監督學習被廣泛認為是通往人工智能重要的一環。

缺點 原始GAN形式具有致命缺陷:判別器越好,生成器的梯度消失越嚴重。我們固定生成器G來優化判別器D。考察任意一個樣本

,其對判別器損失函數的貢獻是

兩邊對

求導,得到最優判別器函數

代入生成器損失函數,我們得到所謂的Jensen-Shannon散度(JS)

在這種情況下(判別器最優),如果

的支撐集合(support)交集為零測度,則生成器的損失函數恒為0,梯度消失。

改進 本質上,JS散度給出了概率分布

之間的差異程度,亦即概率分布間的度量。我們可以用其他的度量來替換JS散度。Wasserstein距離就是一個好的選擇,因為即便 的支撐集合(support)交集為零測度,它們之間的Wasserstein距離依然非零。這樣,我們就得到了Wasserstein GAN的模式【1】【2】。Wasserstein距離的好處在于即便

兩個分布之間沒有重疊,Wasserstein距離依然能夠度量它們的遠近。

為此,我們引入最優傳輸的幾何理論(Optimal Mass Transportation),這個理論可視化了W-GAN的關鍵概念,例如概率分布,概率生成模型(生成器),Wasserstein距離。更為重要的,這套理論中,所有的概念,原理都是透明的。例如,對于概率生成模型,理論上我們可以用最優傳輸的框架取代深度神經網絡來構造生成器,從而使得黑箱透明。

最優傳輸理論梗概

給定歐氏空間中的一個區域

我們尋找一個區域到自身的同胚映射(diffeomorphism),

保持測度 對于一切波萊爾集

換句話說映射T將概率分布

來表示映射的雅克比矩陣(Jacobian matrix),那么保持測度的微分方程應該是:

這被稱為是雅克比方程(Jacobian Equation)。

最優傳輸映射 自映射

。

在所有保持測度的自映射中,傳輸代價最小者被稱為是最優傳輸映射(Optimal Mass Transportation Map),亦即:

最優傳輸映射的傳輸代價被稱為是概率測度

在這種情形下,Brenier證明存在一個凸函數

就是唯一的最優傳輸映射。這個凸函數被稱為是Brenier勢能函數(Brenier potential)。

由Jacobian方程,我們得到Brenier勢滿足蒙日-安培方程,梯度映射的雅克比矩陣是Brenier勢能函數的海森矩陣(Hessian Matrix),

蒙日-安培方程解的存在性、唯一性等價于經典的凸幾何中的亞歷山大定理(Alexandrov Theorem)。

圖2. 亞歷山大定理。

亞歷山大定理 如圖2所示,給定平面凸區域

相交的面積記為

,則總投影面積滿足

,

凸多面體可以被

確定。亞歷山大定理對任意維凸多面體都成立。

后面,我們可以看到,這個凸多面體就是Brenier勢能函數,其梯度映射將一個概率分布

,并且這兩個概率分布之間的Wasserstein 距離對偶于此凸多面體決定的體積。理論上,這個凸多面體可以作為W-GAN模型中的生成器G。

W-GAN中關鍵概念可視化

Wasserstein-GAN模型中,關鍵的概念包括概率分布(概率測度),概率測度間的最優傳輸映射(生成器),概率測度間的Wasserstein距離。下面,我們詳細解釋每個概念所對應的構造方法,和相應的幾何意義。

概率分布 GAN模型中有兩個至關重要的概率分布(probability measure),一個是真實數據的概率分布

。另外,生成器的輸入隨機變量,滿足標準概率分布(高斯、均勻分布)。

圖3. 由保角變換(conformal mapping)誘導的圓盤上概率測度。

概率測度可以看成是一種推廣的面積(或者體積)。我們可以用幾何變換隨意構造一個概率測度。如圖3所示,我們用三維掃描儀獲取一張人臉曲面,那么人臉曲面上的面積就是一個概率測度。我們縮放變換人臉曲面,使得總曲面等于

。然后,我們用保角變換將人臉曲面映射到平面圓盤。如圖3所示,保角變換將人臉曲面上的無窮小圓映到平面上的無窮小圓,但是,小圓的面積發生了變化。每對小圓的面積比率定義了平面圓盤上的概率密度函數。

我們可以將以上的描述嚴格化。人臉曲面記為

,

則

圖4. 兩個概率測度之間的最優傳輸映射。

最優傳輸映射 圓盤上本來有均勻分布

,又有保角變換誘導的概率分布

,則存在唯一的最優傳輸映射

。圖4顯示了這個映射

,中間幀到右幀的映射就是最優傳輸映射。我們看到,鼻尖周圍的區域被壓縮,概率密度提高。

圖5. 離散最優傳輸。

離散最優傳輸映射 最優傳輸映射的數值計算非常幾何化,因此可以直接被可視化。我們將目標概率測度離散化,表示成一族離散點,

,

同時極小化傳輸代價,

。

圖6. 離散Brenier勢能函數,離散最優傳輸映射。

離散Brenier勢能 離散最優傳輸映射是離散Brenier勢能函數的梯度映射。對于每一個目標離散點

是未知變量。這些平面的上包絡(upper envelope)構成一個開放的凸多面體,恰為離散Brenier勢能函數

圖6左側顯示了離散Briener勢能函數。凸多面體在平面上的投影構成了平面的胞腔分解,凸多面體的每個面

的梯度都是

根據保測度性質,每個胞腔

以滿足這個限制。根據亞歷山大定理,這種截距存在,并且本質上唯一。

離散Wasserstein距離 我們和丘成桐先生建立了變分法來求取平面的截距

,

這個能量在子空間

上是嚴格凹的,其唯一的全局最大點就給出了滿足保測度條件的截距。這個能量的非線性項,實際上是上包絡截出的柱體體積,

,

圖7給出了柱體體積的可視化,柱體體積

是凸函數。

圖7. 離散Brenier勢能函數的圖截出的柱體體積

。

體積函數

和Wasserstein距離之間相差一個勒讓德變換(Legendre Transformation)。勒讓德變換非常幾何化,我們可以將其可視化。給定一個定義在實數軸上的二階光滑凸函數
,其圖 是一條凸曲線,這條凸曲線由其所有的切線包絡而成。如果,在任意一點

這被稱為是函數

圖8.凸函數的圖像由其切線包絡而成,切線集合被表示成原函數的勒讓德對偶。

因為

這里c,d是常數。原函數和其勒讓德變換的直觀圖解由圖9給出。我們在xy-平面上畫出曲線

圖9. 圖解勒讓德變換。

勒讓德變換的幾何圖景對任意維都對。我們下面來考察體積函數

假如我們變動截距

p本來屬于

因此,總的Wasserstein距離的變化是

由此我們看到Wasserstein距離等于

其非線性部分是柱體積的勒讓德變換。

總結

通過以上討論,我們看到給定兩個概率分布

映成了另外一個概率分布。這個最優傳輸映射的傳輸代價就給出了兩個概率分布之間的Wasserstein距離。Brenier勢能函數,Wasserstein距離都有明晰的幾何解釋。

在Wasserstein-GAN模型中,通常生成器和判別器是用深度神經網絡來實現的。根據最優傳輸理論,我們可以用Briener勢函數來代替深度神經網絡這個黑箱,從而使得整個系統變得透明。在另一層面上,深度神經網絡本質上是在訓練概率分布間的傳輸映射,因此有可能隱含地在學習最優傳輸映射,或者等價地Brenier勢能函數。對這些問題的深入了解,將有助于我們看穿黑箱。

圖10. 基于二維最優傳輸映射計算的曲面保面積參數化(area preserving parameterization),蘇政宇作。

圖11. 基于三維最優傳輸映射計算的保體積參數化 (volume preserving parameterization),蘇科華作。

(在2016年,老顧撰寫了多篇有關最優傳輸映射的博文,非常欣慰地看到這些文章啟發了一些有心的學者,發表了SIGGRAPH論文,申請了NSF基金。感謝大家關注老顧談幾何,希望繼續給大家靈感。)

參考資料

[1]Arjovsky, M. & Bottou, L.eon (2017) Towards Principled Methods for Training Generative Adversarial Networks

[2] Arjovsky, M., Soumith, C. & Bottou, L.eon (2017) Wasserstein GAN.

[3] Xianfeng Gu, Feng Luo, Jian Sun and Shing-Tung Yau, Variational Principles forMinkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere
Equations, Vol. 20, No. 2, pp. 383-398, Asian Journal of Mathematics (AJM), April 2016.

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