有限元分析時是網(wǎng)格畫的越細(xì)越精確嗎？

2016-11-10 by:CAE仿真在線來源:互聯(lián)網(wǎng)

誠然網(wǎng)格畫到無窮小,剛度矩陣無窮大,但這樣沒法計算,那網(wǎng)格畫到什么層度精度最高?

總所周知,網(wǎng)格是有限元分析非常重要的一部分,結(jié)構(gòu)離散后的網(wǎng)格質(zhì)量直接影響到求解時間及求解結(jié)果的正確性,那網(wǎng)格畫到什么層度精度最高?

元王小編認(rèn)為在單元選用合理、計算假設(shè)合理、網(wǎng)格劃分合理的前提下,單元數(shù)量越多,結(jié)果越接近理論解。

很多時候,提高單元數(shù)量對于計算精度的提高,遠遠比不過選用更好更合理的單元類型。對于不同的求算對象,所需要的單元數(shù)量也不相同。一般來說,求算應(yīng)力需要比求算位移更多的單元,而求算剪應(yīng)力需要比正應(yīng)力更多的單元。

舉一個常見小例子,平面應(yīng)力問題,計算一根懸臂梁的變形和應(yīng)力:

懸臂梁的寬度為1,彈性模量30000,泊松比0.3,自由端承受豎向荷載100。求解A點的豎向位移、B點的正應(yīng)力、C點的剪應(yīng)力。

分別選用不同類型的四種單元計算,包括三節(jié)點三角形 CSTG、六節(jié)點三角形 LST、四節(jié)點四邊形 IPLQ、八節(jié)點四邊形 IPQQ。

首先計算位移和應(yīng)力的理論解:

A 點的豎向位移為0.895,B 點的正應(yīng)力為90,C 點的剪應(yīng)力為7.5。

然后分別用不同數(shù)量的四種單元進行比較計算,所用軟件為 GT STRUDL,單元名稱按照 GT STRUDL 的命名,計算結(jié)果是這樣的:

隨著單元數(shù)量的增多,位移、正應(yīng)力和剪應(yīng)力結(jié)果都趨近于理論解。

對于不同的單元類型,趨近理論解的速度完全不同。同樣是32個單元,CSTG 的位移結(jié)果是0.5072,正應(yīng)力是33.11,與真實解 0.895 和 90 相差甚遠。而32個單元的 LST 結(jié)果為0.8978和88.68,已經(jīng)很接近于理論解 0.895 和 90。

同樣是64個單元,IPLQ 的結(jié)果為 0.8715 、89.52,而 IPQQ 的結(jié)果則達到了 0.8999、90.01,可以說正應(yīng)力結(jié)果已經(jīng)非常非常接近理論解。

如果比較一下四邊形單元的結(jié)果和三角形單元的結(jié)果,差異更加明顯。對于位移結(jié)果來說,2000個CSTG單元的精度也比不上4個IPQQ單元的精度。

如果橫坐標(biāo)為單元數(shù)量,縱坐標(biāo)為計算結(jié)果,繪制一張收斂圖像的話,對于位移來說是這樣的:

對于這四種單元類型,要想達到類似的可以接受的精度水平,需要的單元數(shù)量完全不同。

有限元分析時是網(wǎng)格畫的越細(xì)越精確嗎？cae-fea-theory圖片5

根據(jù)上面的分析,想要得到精度可以接受的計算結(jié)果,CSTG 需要2000多個單元,而 IPQQ 僅需要64個。

所以結(jié)論就是,提高單元數(shù)量的確會提高計算精度,但前提是單元類型合理高效。對于提高精度來說,更合理的方法是選用更好的單元,而不是盲目的提高單元數(shù)量。

PS:Abaqus 的官方幫助文檔里同樣舉了類似的例子,比較了同樣的懸臂梁不同單元、不同網(wǎng)格下的梁端位移的計算結(jié)果,結(jié)論也是類似的。

Abaqus 的結(jié)果如下:

不同單元在四種網(wǎng)格尺寸(1x6、2x12、4x12、8x24)下的計算結(jié)果與理論解的比值
CPS4:0.074,0.242,0.242,0.561
CPS8:0.994,1.000,1.000,1.000
CPS4R:20,1.308,1.051,1.012
CPS8R:1.000,1.000,1.000,1.000

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