Abaqus教程——單元的數學描述和積分

2013-08-14  by:接觸分析培訓中心  來源:仿真在線

Abaqus教程——單元的數學描述和積分

通過考慮一個靜態分析的懸臂梁,如圖4-1所示,將演示單元階數(線性或二次)、單元數學描述和積分水平對結構模擬的精度的影響。這是一個用來評估給定的有限元性能的典型測試。由于梁是相當的細長,通常采用梁單元來建立模型。但是,在這里我們將利用此模型幫助評估各種實體單元的效果。

梁為150 mm長,2.5 mm寬,5 mm高;一端固定;在自由端施加5 N的集中荷載。材料的楊氏模量E為70 GPa,泊松比為0.0。采用梁的理論,在載荷P作用下,梁自由端的靜撓度給出為

其中,,l是長度,b是寬度,d是梁的高度。

當P = 5N時,自由端撓度是3.09 mm。

圖4-1 自由端受集中載荷P的懸臂梁

4.1.1 完全積分

所謂“完全積分”是指當單元具有規則形狀時,所用的Gauss積分點的數目足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。對六面體和四邊形單元而言,所謂“規則形狀”是指單元的邊是直線并且邊與邊相交成直角,在任何邊中的節點都位于邊的中點上。完全積分的線性單元在每一個方向上采用兩個積分點。因此,三維單元C3D8在單元中采用了2´2´2個積分點。完全積分的二次單元(僅存在于ABAQUS/Standard)在每一個方向上采用3個積分點。對于二維四邊形單元,完全積分的積分點位置如圖4-2所示。

圖4-2 完全積分時,二維四邊形單元中的積分點

應用ABAQUS/Standard模擬懸臂梁問題,采用了幾種不同的有限元網格,如圖4-3所示。采用了或者線性或者二次的完全積分單元進行模擬,以此說明兩種單元的階數(一階與二階)和網格密度對結果精度的影響。

關于各種模擬情況下的自由端位移與梁理論解3.09 mm的比值,如表4-1所示。

應用線性單元CPS4和C3D8所得到的撓度值相當差,以至于其結果不可用。隨著網格的粗糙,結果的精度越差,但是即使網格劃分得相當細(8´24),得到的自由端位移仍只有理論值的56%。注意到,對于線性完全積分單元,在梁厚度方向的單元數目并不影響計算結果。自由端撓度的誤差是由于剪力自鎖(shear locking)引起的,這是存在于所有完全積分、一階和實體單元中的問題。

圖4-3 懸臂梁模擬所采用的網格

表4-1 采用積分單元的梁撓度比值

像我們所看到的,剪力自鎖引起單元在彎曲時過于剛硬,對此解釋如下。考慮受純彎曲結構中的一小塊材料,如圖4-4所示,材料產生彎曲,變形前平行于水平軸的直線成為常曲率的曲線,而沿厚度方向的直線仍保持為直線,水平線與豎直線之間的夾角保持為。

圖4-4 受彎矩M作用下材料的變形

線性單元的邊不能彎曲;所以,如果應用單一單元來模擬這一小塊材料,其變形后的形狀如圖4-5所示。

圖4-5 受彎矩M作用下完全積分、線性單元的變形

為清楚起見,畫出了通過積分點的虛線。顯然,上部虛線的長度增加,說明1方向的應力()是拉伸的。類似地,下部虛線的長度縮短,說明是壓縮的。豎直方向虛線的長度沒有改變(假設位移是很小的);因此,所有積分點上的為零。所有這些都與受純彎曲的小塊材料應力的預期狀態是一致的。但是,在每一個積分點處,豎直線與水平線之間夾角開始時為,變形后卻改變了,說明這些點上的剪應力不為零。顯然,這是不正確的:在純彎曲時,這一小塊材料中的剪應力應該為零。

產生這種偽剪應力的原因是因為單元的邊不能彎曲,它的出現意味著應變能正在產生剪切變形,而不是產生所希望的彎曲變形,因此總的撓度變小:即單元是過于的剛硬。

剪力自鎖僅影響受彎曲載荷的完全積分的線性單元的行為。在受沿坐標方向或剪切載荷時,這些單元的功能表現完好。而二次單元的邊界可以彎曲(見圖4-6),故它沒有剪力自鎖的問題。從表4-1可見,二次單元預期的自由端位移接近于理論解答。但是,如果二次單元發生扭曲或彎曲應力有梯度,將有可能展示某種程度的自鎖,這兩種情況在實際問題中是可能發生的。

圖4-6 受彎矩M作用下完全積分、二次單元的變形

只有當確信載荷只會在模型中產生很小的彎曲時,才可以采用完全積分的線性單元。如果對載荷產生的變形類型有所懷疑,則應采用不同類型的單元。在復雜應力狀態下,完全積分的二次單元也有可能發生自鎖;因此,如果在模型中應用這類單元,應細心地檢查計算結果。然而,對于模擬局部應力集中的區域,應用這類單元是非常有用的。

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