一種求偏微分(或常微分)方程和方程組定解問題的數值解的方法,簡稱差分方法。

  微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間區域的邊界上要滿足的定解條件稱為邊值條件。如果問題與時間有關,在初始時刻所要滿足的定解條件,稱為初值條件。不含時間而只帶邊值條件的定解問題,稱為邊值問題。與時間有關而只帶初值條件的定解問題,稱為初值問題。同時帶有兩種定解條件的問題,稱為初值邊值混合問題。

  定解問題往往不具有解析解,或者其解析解不易計算。所以要采用可行的數值解法。有限差分方法就是一種數值解法,它的基本思想是先把問題的定義域進行網格剖分,然后在網格點上,按適當的數值微分公式把定解問題中的微商換成差商,從而把原問題離散化為差分格式,進而求出數值解。此外,還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數值穩定性、差分格式的解與原定解問題的真解的誤差估計、差分格式的解當網格大小趨于零時是否趨于真解(即收斂性),等等。

  有限差分方法具有簡單、靈活以及通用性強等特點,容易在計算機上實現。

偏微分方程初值問題的差分法 許多物理現象隨著時間而發生變化、如熱傳導過程、氣體擴散過程和波的傳播過程都與時間有關。描述這些過程的偏微分方程具有這樣的性質:若初始時刻t=t0的解已給定,則t>t0時刻的解完全取決于初始條件和某些邊界條件。利用差分法解這類問題,就是從初始值出發,通過差分格式沿時間增加的方向,逐步求出微分方程的近似解。

偏微分方程邊值問題的差分法 物理上的定常問題,如彈性力學中的平衡問題,亞聲速流、不可壓粘性流、電磁場及引力場等可歸結為橢圓型方程。其定解問題為各種邊值問題,即要求解在某個區域D內滿足微分方程,在邊界上滿足給定的邊界條件。橢圓型方程的差分解法可歸結為選取合理的差分網格,建立差分格式,求解代數方程組以及考察差分格式的收斂性等問題。

差分方法的發展和應用 前面闡述了兩個自變量,線性方程的差分法。實際問題常會遇到多個自變量,非線性的方程或方程組;它們還可能是混合型的偏微分方程(如機翼的跨聲速繞流),其解包含著各種間斷(如激波間斷、按觸間斷等)。非線性問題的差分法求解是十分困難的。隨著電子計算機的發展,在解決各種非線性問題中,差分法得到了很快的發展,并且出現了許多新的思想和方法,如守恒差分格式,時間相關法、分步法等。

有限差分方法已成為解各類數學物理問題的主要數值方法,也是計算力學中的主要數值方法之一。有些解偏微分問題的方法(如特征線法、直線法)實質上也是差分方法的一種形式。在固體力學中,有限元方法出現以前,主要采取差分方法;在流體力學中,差分方法仍然是主要的數值方法。當然,對于某些具有復雜的幾何形狀及復雜的流動現象的實際問題,差分方法還有待進一步發展。

  參考書目

 馮康等編:《數值計算方法》,國防工業出版社,北京,1978。

 胡祖熾編:《計算方法》,高等教育出版社,北京,1959。

 清華大學、北京大學《計算方法》編寫組編:《計算方法》,科學出版社,北京,1980。

 朱幼蘭等著:《初邊值問題差分法及繞流》,科學出版社,北京,1980。

 R.D.里奇特邁爾著,何旭初等譯:《初值問題差分方法》,科學出版社,北京,1966。(R.D.Richtmyer,Difference Methods for Initial-Value Problems, Interscience Pub., New York,1957.)

 R.D.Richtmyer, K.W.Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, 2nd ed.,Interscience Pub.,New York,1967.