現代數學和物理的關系(節選自數學http://conneslucky.blog.sohu.com/)

“我們能直覺地感覺到幾何概念或許讓幾何成為宇宙構成的最好語言。在21世紀,我們將無法區別下面的學科:物理學:量子力學,廣義相對論,弦理論。幾何學:示性類,指標公式。非線性橢圓、拋物方程、雙曲系統、混合型方程。拓撲、代數幾何、數論。”——丘成桐

我們從以下兩個方面可以看出現代數學和物理的關系:

(a) Newton的古典引力理論只用到微積分。Einstein的狹義相對論用到簡單的線性代數,數學家Minkowski幾乎同時得到類似結果。Einstein的廣義相對論則需要用到Riemann幾何來研究時空和引力。從數學上,Hilbert也得到Einstein方程。

(b) Maxwell的電磁學方程也只用到多元微積分。但數學家Weyl、Cartan對引力和電磁力的統一理論的研究(1920年代開始)促進了微分幾何的發展,導致了向量叢、主叢上聯絡理論的出現。1940年代Chern-Weil理論的出現標志著微分幾何與代數拓撲的完美結合(聯絡理論與示性類理論的統一)。

(c) 1950年代Yang-Mills規范理論提出后,逐漸成為統一后三種作用力的理論基礎。1970年代發現這種理論對應著幾何學中的聯絡理論。

(d) 1960年代出現的超弦理論在1970年代作為可能統一廣義相對論和規范理論的終極理論得到大量研究。數學上1970年代由于丘成桐證明Calabi猜想而得到的大量Calabi-Yau空間是超弦理論中主要的研究對象之一。超弦理論的研究涉及數學的許多主流分支,是數學和物理學相互促進的重要領域而受到廣泛關注。

幾何工程(geometric engineering)是超弦理論中提出的一個重要理論:從超弦理論得到規范場論:

從Calabi-Yau到Yang-Mills

上述理論的相互關聯:

1。指標理論和模空間。

Atiyah和Singer等人發展的指標理論可追溯到Riemann-Roch定理和Gauss-Bonnet-Chern定理,其發展依賴Chern-Weil示性類理論。各種量子場論(如量子引力、量子規范場、非線性σ-model等)牽涉到各種模空間上的積分。模空間的結構需要用指標理論來研究,而其上的積分則要用以下的談到的局部化方法來研究。場論中的各種反常(如gravitional anomaly, chiralanomaly)也需要用指標理論來研究。

1970年代Atiyah和Singer用指標理論研究規范場論中instanton的模空間1980年代Donaldson將他們的結果發展為研究四維流形的全新工具,啟發了Witten的拓撲量子場論概念的引入。1990年代a. Witten引進Seiberg-Witten方程及其模空間b. Gromov-Witten理論(全純映射模空間理論)開始盛行c. 鏡像對稱(Calabi-Yau空間兩種模空間的對偶性)被提出并得到廣泛研究

2。等變上同調和局部化方方法法。幾何學中有許多局部與整體關系的結果。如Poincare-Hopf定理:流形的Euler數可由向量場的奇點算出。Lefschetz不動點定理:映射的Lefschetz數可由映射的不動點算出。陳先生的關于Gauss-Bonnet定理的工作利用了Poincare-Hopf定理。推廣到復的情形有Bott residue theorem。

由Chern-Weil理 論 發 展 出equivariant cohomol-ogy和Atiyah-Bott localization theorem。在指標理論里有Atiyah等人發展的一般的Lefschetz不動點定理。這些局部化結果是研究帶對稱的數學或物理系統的有力工具,在數學和物理中都有廣泛的應用。在拓撲量子場論中由等變上同調理論也發展出了的Mathai-Quillen xxxxalism.

局部化方法也是超弦的數學理論中的重要方法。連文豪、劉克峰、丘成桐用它證明了著名的鏡像原理。去年由劉秋菊、劉克峰和我證明的Mari?no-Vafa猜想及其推廣,以及在Gromov-Witten理論中的應用都是以這種方法為基礎的。物理學家也廣泛使用這種方法,如在幾何工程的研究中。

3。Chern-Simons理論和扭結不不變變量。產生與1970年代的Chern-Simons理論根源在1940年代陳先生的工作中。Chern-Simons理論意想不到的在物理中有很多應用。1980年代,Witten發現

a. Chern-Simons理論可用來構造三維流形上不依賴度量的場。

b. 它 與 共 形 場 論 (conxxxxal field theory)中的WZW model的關系,在數學中這種模型對應于Kac-Moody代數的表示理論。

c. 它 與 量 子 群(quantum group), 對 應 于 物 理中Yang-Baxter方程的解,有很大關系。

d. 以上兩種代數結構都可以用來構造扭結不變量,如Jones polynomial和HOMFLY polynomial.可以用以下圖表來表示:

Chern-Simons理論 Yang-Baxter方程 Kac-Moody代數 link invariants

它們都在認識自然界的終極理論的最前沿的探索中起著關鍵作用。

是否隨著超弦的數學理論理論進一步發展,這六項成果全部可以統一呢?事實上,物理學家已經開始用超弦理論研究引力和黑洞,如Strominger-Vafa對Bekenstein-Hawking熵做了弦理論解釋。Hawking(霍金)在杭州的演講題目A brane newworld中的brane就是超弦理論中發展出來的。如果相信超弦理論確實能統一引力理論和規范場論的話,可以預見,這第六項與其他五項的統一是遲早的事